女儿的数学作业里面有这样一道题：在500到1000之间，有几个整数被11除时余8，被7除时余4？
这让我想起来几年前，世界各地的人到我们纽约来看一种懂数学的蝉，这种懂数学的蝉，正好可以帮助我们解这类问题。
北美洲除了有年蝉（在土中生活2-5年后破土）之外，还有十几种蝉每13年和每17年才集中破土一次。它们被称作周期蝉，厚积薄发的周期蝉破土的时候往往有上亿只蝉同时出现，成为一种奇观。
假如在2016年的纽约某地，有一种13年周期蝉和17年周期蝉同时破土，那么下一次这两种蝉同时破土的年份是哪年？我们要找到13和17的最小公倍数，221（两种蝉破土的共同周期）。加到2016上，得到2237，那2237年就是答案。
看到这里，我们发现，周期蝉似乎懂数学的一样，采用了素数周期，最大限度地避免破土重合的机会。如果两种蝉的周期各自为更长的15和20年，由于15和20不是素数，它们的共同周期反而短了，是60。也就是两种蝉每60年就会相遇一次。
当然，科学家们认为这是自然选择的结果。周期蝉并不是避免和其它周期蝉冲突，而是降低和周期变化的气候或者是周期性繁殖的天敌冲突的机会，但原理是一样的。
那么这个和我们的问题又有什么关系呢？我们来看2016除以13的余数是什么？ 是1。2016除以17的余数是什么？是10。这样，我把问题
“假如在2016年的纽约某地，有一种13年周期蝉和17年周期蝉同时破土，那么下一次这两种蝉同时破土的年份是哪年？”
改成：
“在2000和3000之间，除以13余1并且除以17余10的数有哪些？”
不就是同样的问题吗？
要解这样的问题，第一步是找出除数的最小公倍数，也就是出现特定余数的共同周期，13×17=221。第二步是找出满足条件的第一个数。因为第一个数是2016，结果是有5个周期端点，2016， 2016+221×1， 2016+221×2，2016+221×3，2016+221×4。注意，有时候周期221在1001里面可能只能排出3个完整周期，这种情况下只有4个数满足条件（考虑“在2000和3000之间，除以13余9并且除以17余4的数有哪些？”）。
类似的题目可以是，依难度从低到高：
“在500到1000之间，有几个整数被11除时和被7除时都余4？”
“在500到1000之间，有几个整数被11除时余８，被7除时余4？” －－－本题
“在500到1000之间，有几个整数被11除时余８，或者被7除时余4？”